Números Primos en sucesión: Un Viaje desde una Nueva Coordenada hasta los Límites del Cómputo buscando el nuevo Primo de Mersenne

¿Y si pudiéramos organizar los números primos, esos rebeldes e impredecibles ladrillos del universo matemático, en una línea ordenada? ¿Qué patrones ocultos podríamos descubrir? Los límites mismos de lo que podemos calcular limita comprender la naturaleza del orden de los números primos y a su vez le da valor de uso, pero… y si hay otras formas de “calcularlos” . 

Figura 1: Números Primos en sucesión - Un Viaje desde una Nueva Coordenada

hasta los Límites del Cómputo buscando el nuevo Primo de Mersenne

Lo que comenzó con una idea sencilla, casi como un juego de lógica, terminó revelando conexiones inesperadas y rozando algunos de los misterios más grandes de las matemáticas. Pero ahora estoy en la fase de pasar de la posibilidad de ir hacia la verdad o llegar a un proceso que lo desmienta.

1. El Sistema de Progresión Aditiva: Un Nuevo Marco para los Primos

Todo gran descubrimiento necesita un mapa. Nosotros decidimos crear el nuestro.

1.1. La Conjetura Fundamental

Nuestra primera idea fue simple: ya que todos los números primos (excepto el 2) son impares, todos los matemáticos en busca de números primos trabajan con impares. Así nació nuestra progresión fundamental: 3+2n. Para n=0,1,2,... esta fórmula genera la secuencia 3, 5, 7, 9, 11..., que inevitablemente debe contener a todos los primos que buscamos.

1.2. Definición de la Posición (ps)

Con nuestra "carretera" de números impares construida, necesitábamos una forma de darle una "dirección" o "coordenada" a cada primo. A esta coordenada la llamamos posición (p_s). La calculamos con una fórmula sencilla que nos dice cuántos "pasos" de 2 hay que dar desde el 3 para llegar a un primo (p_r): ps=2pr−3

Por ejemplo, para el primo 13, su posición es (13−3)/2=5. Esto nos da un sistema de coordenadas único para nuestro mapa de primos.

1.3. Algoritmo Determinista

Armados con este sistema, nos dimos cuenta de que podíamos predecir dónde estarían los números compuestos. Esto nos permitió crear un algoritmo para "cribar" la secuencia 3+2n, eliminando los compuestos y dejando sólo los primos, sin tener que realizar costosas pruebas de primalidad.

Figura 2: Primer código en Python de prueba

2. Análisis de Números de Mersenne a través del Sistema de Posiciones

Una vez establecido nuestro sistema, lo aplicamos a un tipo de números muy especial y famoso: los números Primos de Mersenne.

2.1. El Exponente como Número Primo

Los números Primos de Mersenne tienen la forma 2p−1. Una regla de oro es que para que este número pueda ser primo, su exponente p también debe serlo. Esto nos dio un campo de juego perfecto: podíamos aplicar nuestro sistema de posiciones (p_s) no a los gigantesco s números Primos de Mersenne, sino a sus exponentes primos, mucho más manejables.

2.2. La Diferencia de Posiciones (Δps)

Para entender la relación entre estos exponentes, introdujimos la Diferencia de Posiciones (Deltap_s). Este valor simplemente mide el "salto" en el mapa entre las posiciones de dos exponentes primos. Como vimos, este valor está directamente relacionado con la diferencia entre los primos: Deltap_s=(p_i−p_j)/2.

2.3. Tabulación y Análisis de Datos

Comenzamos a construir tablas para visualizar estos datos: el exponente primo, su posición p_s, y las diferencias Deltap_s con todos sus predecesores. Fue en estas tablas donde los patrones comenzaron a emerger.

3. Descubrimiento de Patrones y Relaciones Matemáticas

El análisis de los datos nos llevó a varias conclusiones sorprendentes, verdaderas joyas matemáticas ocultas en la estructura que habíamos creado.

3.1. La Firma de los Primos Gemelos

Observamos un patrón muy específico en la columna Deltap_s. Cuando la diferencia de posiciones de un exponente con su predecesor era 2, y la del siguiente exponente era 1, habíamos encontrado una constelación de primos de la forma (p,p+4,p+6). Lo más importante es que la condición Δps = 1 era una firma inequívoca de que habíamos encontrado dos exponentes primos gemelos (separados por 2 unidades, como 17 y 19).

3.2. La Invariante del Sistema

En un momento de pura curiosidad matemática, probamos la fórmula (p_r−p_s)−p_s . El resultado fue asombroso: para cualquier número primo p_r que introdujéramos, el resultado era siempre 3. Habíamos descubierto una constante, una propiedad invariable de nuestro sistema que vincula a cada primo con su posición de una forma elegante y predecible.

3.3. Búsqueda de Primos por "Saltos"

Usamos la idea de Δps a la inversa. En lugar de medir los saltos, los fijamos. De la lista de los 51 exponentes conocidos que generan Primos de Mersenne, los únicos para los cuales se sabe que 2p−3 también es un número primo son:

• p = 3 (que genera la pareja de primos gemelos 5 y 7)
• p = 5 (que genera la pareja de primos gemelos 29 y 31)
• p = 13 (que genera la pareja de primos gemelos 8189 y 8191)
• p = 17 (que genera la pareja de primos gemelos 1310 69 y 1310 71)

Se observa que entre el exponente 3 y 5 hay una “ distancia” de 2^1, entre 13 y 17 hay una distancia de 2^2 y la pregunta es si esta circunstancia describe que entre 2 valores de p que generan primos gemelos hay una “ distancia” igual a 2^n. 

 

Y la gran pregunta: ¿se puede programar?

4. Exploración de los Límites Computacionales

Nuestro viaje nos llevó inevitablemente desde la elegancia de los patrones matemáticos hasta la dura realidad de la computación.

4.1. El Muro de los Grandes Números

Cuando intentamos aplicar nuestras ideas a números realmente grandes, como el exponente del Mayor Primo de Mersenne conocido (p=82,589,933), nos topamos con un muro. El número 282,589,933−1 tiene más de 24 millones de dígitos. 

 

Imprimirlo llenaría unas 12.000 páginas de texto. Calcularlo, almacenarlo y operarlo está más allá de las capacidades de un programa convencional, o no... ¿se puede “combinar” métodos de programación de manera que “ alumbrar” números primos en una sola línea a partir de 2+3n, con la criba por posición (ps)? 

 

Actualmente se emplean métodos de factorización, este método propone un método en el que se pueden sustituir los números por valores, de manera que NO haga falta calcularlos sino simplemente determinar si su posición (ps) corresponde al valor que lo identifica como múltiplo con otro primo posterior a 3. 

 

También se puede aplicar esta metodología de manera “ regresiva” , o sea a partir de un múltiplo de 3 generar todos los primos anteriores al mismo (esto es especialmente útil con los números Primos de Mersenne, ya que todo número impar posterior a un número primo de Mersenne es igual a 3n). Puedes programarlo a partir del código anterior de Phyton.

4.2. El Desafío de la Primalidad

El verdadero límite es probar si un número de esa magnitud es primo. Proyectos comoGIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) dedican años de computación distribuida global para verificar un solo candidato. Nos dimos cuenta de que nuestra curiosidad tocaba la frontera misma de la investigación matemática. 

 

Pero ahora, a través de esta metodología, el número a calcular la mitad de grande ya que operaremos con 3+2n, siendo 2n un número la mitad de grande de lo que ahora se trabaja, que aplicando otras formas de reducción aliviarían todavía más las necesidades de cálculo.

4.3. El Código como Herramienta de Exploración

Frente a esta barrera, nuestro enfoque cambió. El código Python dejó de ser una "calculadora" para convertirse en un "laboratorio" . Creamos un generador que aplicaba nuestra lógica fila por fila. Aunque no podía darnos la respuesta para un exponente de 82 millones, sí formalizaba el proceso y nos permitía explorar el comportamiento del sistema para rangos manejables, demostrando la validez de nuestras ideas.

Figura 3: El código en Python generado con estas ideas

Conclusión: De una Pregunta a un Universo de Ideas

Nuestro viaje, que comenzó con la simple idea de ordenar los números primos en una línea, nos llevó a crear un sistema de coordenadas, a descubrir patrones ocultos como las firmas de los primos gemelos, a encontrar constantes matemáticas inesperadas y, fin almente, a comprender los límites prácticos de la computación.

Esta exploración es un microcosmos de cómo funciona la ciencia: una pregunta simple, seguida de la creación de un modelo, el análisis de datos, el descubrimiento de patrones y, en última instancia, el encuentro con preguntas aún más grandes y profundas. Lo s números primos puede que nunca revelen todos sus secretos, pero el intento de descifrarlos seguirá siendo una de las aventuras más emocionantes de la mente humana.

Si has llegado hasta aquí y según el interés que te haya suscitado este texto, a la pregunta de qué puedes hacer con ello solo dispone de tres posibles respuestas:

• Nada
• Demostrar que es incorrecto
• Colaborar en su desarrollo más amplio

Saludos,

Autor: Tomás Sánchez Expósito

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